Geometria e Astronomia

Geraldo Ávila Instituto de Matemática, UNICAMP 13081 Campinas, SP

1. Considerações preliminares

Freqüentemente, o professor de Matemática se vê em dificuldades diante do aluno que deseja saber "pra que serve" o que está aprendendo, ou porque está estudando este ou aquele tópico. Nem sempre o professor tem uma resposta satisfatória e às vezes até encerra o assunto com uma justificativa nada convincente: "Você precisa aprender isto agora como embasamento para o que vai estudar mais tarde".

Em situações como essa, quem tem razão é o aluno: sua curiosidade por uma justificativa adequada das coisas que lhe são ensinadas é mais do que natural. Ele precisa de respostas certas, que satisfaçam sua curiosidade e estimulem sua mente inquisitiva. Só assim poderá o professor transformar o desinteresse do aluno pela Matemática numa ativa participação no aprendizado.

A Astronomia, que é a mais antiga das ciências, oferece excelentes exemplos de aplicações simples e interessantes de fatos geométricos elementares, que muito bem respondem ao "pra que serve" do aluno, estimulando ainda mais sua curiosidade científica e ajudando-o a bem entender o papel da Matemática como instrumento da ciência aplicada. Escrevemos sobre algumas dessas questões no primeiro número da RPM, onde mostramos como noções simples de semelhança e proporcionalidade permitiram aos sábios da Antiguidade encontrarem métodos de calcular os tamanhos da Terra, do Sol e da Lua e as distâncias entre esses astros. (Veja também os problemas 7, 8 e 9 sobre satélites em nosso artigo na RPM 9.) Muitos desses cálculos são acessíveis a alunos de 6.ª e 7.ª séries e servem como excelente motivação ao estudo de triângulos e círculos.

No presente artigo apresentaremos outros cálculos simples que nos dão os períodos de revolução dos planetas & suas distâncias ao Sol em termos da distância da Terra ao Sol, cálculos esses que são devidos, originariamente, a Copérnico.

 

2. O que fez Copérnico

A famosa obra de Nicolau Copérnico (1473-1543) sobre a teoria heliocêntrica do sistema solar foi publicada no ano de sua própria morte. Mas não teve repercussão imediata, embora se revelasse mais tarde como o impulso inicial mais importante para o desenvolvimento científico que persiste até os dias de hoje. Por isso mesmo historiadores da ciência adotam o ano de 1543 como o do início da ciência moderna.

Essa idéia de que o Sol está fixo no espaço e os planetas, inclusive a Terra, giram em torno dele, não era nova no tempo de Copérnico. Ela já havia sido proposta por Aristarco no 3.º século a.C. Mas não vingou, porque esbarrava em sérias dificuldades, uma das quais é uma objeção muito interessante, aparentemente levantada pela primeira vez por Hiparco (que viveu por volta de 150 a.C), Se a Terra girasse em torno do Sol ( dizia Hiparco ( a direção em que vemos uma estrela particular deveria variar durante o ano (fig. 1). E Hiparco, um eminente astrônomo, nunca constatara esse fenômeno em suas observações.

Para bem entender do que estamos falando, imagine um observador olhando fixamente para frente, movimentando a cabeça para a direita e para a esquerda. Ele notará que os objetos diante de si também se movimentam para a esquerda e para direita respectivamente. Os objetos "se deslocam" tanto menos quanto mais afastados estiverem do observador. Pois bem, era exatamente esse deslocamento que Hiparco esperava das estrelas, se é que a Terra estivesse mesmo dando voltas em torno do Sol. Ao que parece, Hiparco descartava como absurda a idéia de que as estrelas estivessem tão afastadas de nós a ponto de permanecerem praticamente fixas na abóbada celeste.

Hoje sabemos que as estrelas efetivamente "se deslocam" ao longo do ano, mas por ângulos ínfimos que sempre escaparam à capacidade de detecção dos instrumentos de Hiparco e de todos os astrônomos até muito recentemente. De fato, esse deslocamento das estrelas, chamado paralaxe, só foi medido pela primeira vez pelo astrônomo russo Struve em 1837 e pelo alemão Bessel em 1838. Essas descobertas mostraram que as estrelas estão a diferentes distâncias de nós, umas mais longe, outras mais perto. A estrela mais próxima é a Alfa Centauro, que é a segunda estrela mais brilhante à esquerda do Cruzeiro do Sul (fig. 2). Ela é, na verdade, um sistema triplo, isto é, são três estrelas agrupadas, das quais a mais próxima de nós está a 4,3 anos-luz* de distância. Ora, o Sol está a 8,3 minutos-luz da Terra, de sorte que

Isto mostra que essa estrela está distante de nós 272 000 vezes mais que o Sol. Assim, se o Sol estivesse a 1 metro de distância da Terra, a estrela mais próxima estaria a 272 km de distância! E Copérnico pensava que as estrelas estivessem 400 vezes mais longe de nós que o Sol...

Se a idéia heliocêntrica já havia ocorrido a Aristarco ( chamado "o Copérnico da Antiguidade" ( por que então a fama ficou com Copérnico? A explicação é simples: não basta uma hipótese, é preciso elaborar um sistema, construir uma teoria. Das idéias de Aristarco só nos chegaram uma breve referência num dos livros de Arquimedes. Copérnico, por outro lado, deixou-nos um livro ( Sobre as revoluções das esferas celestes ( contendo um estudo que compatibiliza suas idéias com os dados de observação acumulados ao longo de milênios. E nesse arranjo de compatibilização ele teve de introduzir várias modificações em sua idéia original. Assim, por exemplo, embora o Sol seja considerado fixo, ele não ocupa os centros das órbitas dos planetas, nem esses centros são coincidentes (fig. 3). Isso foi necessário porque Copérnico mantinha a idéia de que os planetas eram dotados de velocidade uniforme em suas órbitas, o que não condizia com os dados de observação se as órbitas fossem concêntricas.

Veremos, a seguir, como Copérnico calculou os períodos de revolução do planetas e suas distâncias ao Sol, admitindo órbitas circulares centradas no Sc e movimentos uniformes dos planetas em suas órbitas.

 

3. Período sideral e período sinódico

Consideremos o planeta Marte, que é um planeta superior, isto é, cuja órbita abarca a órbita da Terra. Sejam   T e  M  as posições da Terra e de Marte, respectivamente, quando ambos se encontram de um mesmo lado do Sol S e com ele alinhados (fig. 4). Nesse caso, diz-se que Marte está em oposição (ao Sol relativamente à Terra). Quando isso acontece, Marte é visto no zênite à meia-noite; ele nasce quando o Sol se põe e se põe ao nascer do Sol. Por observações feitas, desde a Antiguidade, sabe-se que Marte volta a ficar em oposição a cada 780 dias. Esse é o período de revolução do planeta em torno da Terra, chamado período sinódico. O período de revolução do planeta em torno do Sol é chamado período sideral.

Para calcularmos esse último período, observemos primeiro que a velocidade angular de Marte é menor que a da Terra ( um fato que se constata po observações simples. Então, a partir de uma oposição, a Terra vai ganhando dianteira sobre Marte e esse planeta voltará a ficar novamente em oposição quando a dianteira da Terra sobre ele for de 360°, isto é, uma volta completa. Ora em 780 dias, que é o tempo que decorre entre duas oposições sucessivas, a Ter ra terá dado duas voltas em torno do Sol e se deslocado ainda, ao longo d um arco (fig. 4), durante os 50 dias restantes (pois 780 = 2 x 365 + 50) Devido à uniformidade do movimento da Terra, teremos a proporção:

Durante os mesmos 780 dias, Marte completou uma volta em torno do Sol mais o arco . Então, se P é o período sideral de Marte teremos a proporção:

Com esse mesmo raciocínio, Copérnico calculou os períodos siderais dos demais planetas superiores conhecidos em seu tempo, Júpiter e Saturno. Sugerimos que o leitor faça esses cálculos, sabendo que os períodos sinódicos desses planetas são 399 dias e 378 dias respectivamente. Os períodos siderais correspondentes serão, aproximadamente, 11,8 anos e 29,5 anos respectivamente.

Um raciocínio parecido permite calcular os períodos siderais dos planetas inferiores, o que faremos no Apêndice adiante.

 

4. Distância de Marte ao Sol

O conhecimento do período sideral de um planeta superior é essencial para o cálculo de sua distância ao Sol, como veremos agora, no caso de Marte. Imaginemos, como ilustra a fig. 5.  que Marte em   M  esteja em oposição, em a Terra estando em T e o Sol S.   Sabemos, por dados de observação, que 106 dias após, a Terra e Marte se encontrarão em posições 7" e M' respectivamente, tais que . Durante esse tempo, o ângulo a, descrito pela Terra, é de aproximadamente 105°, como é fácil calcular (pois a: 106 = 360° : 365). Quanto a Marte, ele terá descrito um ângulo   ,   pois

Como conseqüência,  .   Finalmente, o triângulo retângulo   ST'M'   nos dá:

Fica assim calculada a distância de Marte ao Sol como 1,5 vezes a distância da Terra ao Sol.

Com o mesmo raciocínio Copérnico calculou as distâncias de Júpiter e Saturno ao Sol. Notamos, mais uma vez, que os cálculos dessas distâncias dependem do conhecimento dos períodos siderais dos planetas, os quais são conceitos ligados à hipótese heliocêntrica de Copérnico. Essas distâncias, portanto, só podiam ser calculadas por Copérnico ou pelos sábios que vieram depois. Pode ser que Aristarco as tenha calculado na Antiguidade, mas disso nada sabemos porque muitos dos seus escritos não chegaram até nós.

 

5. As distâncias de Mercúrio e Vénus ao Sol

Contrariamente ao que se passa com os planetas superiores, Marte, Júpiter e Saturno, o cálculo das distâncias de Mercúrio e Vênus ao Sol é muito simples e não depende do conhecimento de seus períodos siderais. Estes são os planetas inferiores, assim chamados porque suas órbitas são abarcadas pela órbita da Terra (fig. 6). Em conseqüência, o afastamento angular desses planetas em relação ao Sol, dado pelo ângulo e chamado a elongação do planeta P, nunca ultrapassa um certo valor máximo, inferior a 90°. É por isso que Mercúrio é Vênus nunca são visíveis no zênite, por onde eles só podem passar durante o dia. Eles são visíveis ao romper da manhã ou ao cair da noite, já que nunca se afastam muito do Sol.

Esses dois planetas se situam em extremos opostos, no que diz respeito à visibilidade: Vênus' é muito fácil de ser visto, seja como "estrela matutina" ou "estrela vespertina"; ele é o astro mais conspícuo, e mais brilhante no céu depois do Sol e da Lua. Mercúrio é diferente: estando muito perto do Sol, não é fácil localizá-lo, já que só será visto quase ao raiar do Sol, ou pouco depois do Sol poente, de preferência quando em elongação máxima, que

é, em média, de 23°. Quando isso acontece (fig. 7) o triângulo STM é retângulo em  M,   logo,

SM = ST ^. sen 23° * 0,39 ST.

Vemos assim que Mercúrio dista do Sol 0,39 vezes a distância da Terra ao Sol. O planeta Vênus, por sua vez, tem elongação que atinge valor máximo de 47°. Portanto, sua distância ao Sol é (fig. 8)

SV = ST ^. sen 47° * 0,73 ST.

 

6. Conclusão

Os cálculos aqui apresentados são uma pequena amostra do trabalho de Copérnico na elaboração de sua teoria heliocêntrica. Usar a teoria para fazer previsões sobre o movimento dos planetas e comparar essas previsões com o que revelavam os dados da observação era o teste necessário para comprovar ou refutar a teoria. Esse teste foi revelando discrepâncias inaceitáveis e exigindo ajustes nas hipóteses. Já mencionamos um desses ajustes, que foi o de deslocar o Sol dos centros das órbitas dos planetas. Mas as modificações, ainda nas mãos de Copérnico, não pararam aí. As mais espetaculares mudanças viriam com Kepler, cerca de 70 anos após a morte de Copérnico. Só então emergiria uma teoria definitiva do sistema solar e que iria encontrar forma acabada na teoria da gravitação de Newton. Pretendemos falar sobre isso num futuro artigo.

 

Apêndice

Mostraremos, aqui, como se pode calcular o período sideral de um planeta inferior como Mercúrio. Imaginemos o planeta em elongação máxima a oeste, na posição M, quando a Terra se encontra em T₁ (fig. 9). Sabemos, por dados de observação, que dali a 58 dias ele estará novamente em elongação máxima, desta vez ao leste, na posição M₂. Nesses 58 dias a Terra Mais 58 dias e voltaremos a ver Mercúrio em elongação máxima a oeste, na posição M₃ , com a Terra em   T₃.  Assim, em 116 dias (58 + 58) a Terra descreverá o arco =2 x 57 = 114°; e Mercúrio,  descreverá uma volta completa em torno do Sol, mais o arco = 114°, um total de 474°. Se P é o período sideral de Mercúrio teremos

O procedimento é análogo para Vênus, que tem um período sideral de 225 dias.

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* Um ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano.